Question

10．设函数f（x）=${log}_{3}^{2}x+3l{og}_{3}x+2$，且$\frac{1}{9}$≤x≤9．
（1）求f（3）的值；
（2）求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数的解析式，通过对数运算法则求解函数值即可．
（2）利用换元法，结合x的范围，求出换元的范围，利用二次函数的最值求解函数的最值以及与之对应的x的值．

解答 解：（1）函数f（x）=${log}_{3}^{2}x+3l{og}_{3}x+2$，且$\frac{1}{9}$≤x≤9．
f（3）=log₃²3+3log₃3+2=1+3+2=6．
（2）令t=log₃x，f（x）=${log}_{3}^{2}x+3l{og}_{3}x+2$=t²+3t+2，又$\frac{1}{9}$≤x≤9，-2≤log₃x≤2，
∴-2≤t≤2，令g（t）=t²+3t+2=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，t∈[-2，2]，
当t=$-\frac{3}{2}$时，g（t）_min=-$\frac{1}{4}$，即log₃x=-$\frac{3}{2}$，可得x=${3}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴f（x）_min=-$\frac{1}{4}$，此时x=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
当t=2时，g（t）_max=g（2）=12，即log₃x=2，可得x=9，
∴f（x）_max=12，此时x=9．

点评 本题考查函数值的求法，二次函数的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．