Question

15．已知a，b∈R⁺，$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=2．求ab的最大值，a+b的最小值，2a+3b的最小值，并取得最值时相应的a，b的值．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质计算即可．

解答 解：∵a，b∈R⁺，$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=2，
∴3a+2b=2ab≥2$\sqrt{6ab}$，
∴ab≥6，当且仅当3a=2b即a=3，b=2时“=”成立；
∵a，b∈R⁺，$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$=1，
∴（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$）=$\frac{5}{2}$+$\frac{3a}{2b}$+$\frac{b}{a}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{3a}{2b}•\frac{b}{a}}$=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{6}$，
当且仅当3a²=2b²即a=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，b=$\frac{3+\sqrt{6}}{2}$时“=”成立；
（2a+3b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$）=$\frac{11}{2}$+$\frac{3a}{b}$+$\frac{3b}{a}$≥$\frac{11}{2}$+2$\sqrt{\frac{3a}{b}•\frac{3b}{a}}$=$\frac{23}{2}$，
当且仅当a=b即a=b=$\frac{5}{6}$时“=”成立．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查“1”的应用，是一道基础题．