Question

12．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是曲线C：y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上一动点
（1）求证：曲线C在点P处的切线与坐标轴围成的三角形面积为定值；
（2）当点P，A之间的最短距离为2$\sqrt{2}$时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）设曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上任意一点的坐标是P（x₀，y₀），求出函数的导数，结合点P的坐标，可得切线的方程，联立曲线的方程，进而可得直线在x、y轴上的截距，由三角形面积公式，计算可得答案，进而证明结论成立；
（2）设点P（m，$\frac{1}{m}$），利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．

解答 解：（1）证明：设曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上任意一点的坐标是P（x₀，y₀），
由函数y=$\frac{1}{x}$的导数为y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
可得切线的方程是 y-y₀=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
由x₀y₀=1，可以得出切线在x轴与y轴的截距分别是
x₀+x₀²y₀=2x₀，y₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{2}{{x}_{0}}$，
根据三角形的面积公式可得，S=$\frac{1}{2}$•|2x₀•$\frac{2}{{x}_{0}}$|=2．
可得曲线C在点P处的切线与坐标轴围成的三角形面积为定值2；
（2）设点P（m，$\frac{1}{m}$），则|PA|=$\sqrt{（m-a）^{2}+（\frac{1}{m}-a）^{2}}$
=$\sqrt{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}-2a（m+\frac{1}{m}）+2{a}^{2}}$=$\sqrt{（m+\frac{1}{m}）^{2}-2a（m+\frac{1}{m}）+2{a}^{2}-2}$，
令t=m+$\frac{1}{m}$，∵m＞0，∴t≥2，
令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，
①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2-4a+2a²=（2$\sqrt{2}$）²，解得a=-1；
②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，
即有t=a，g（t）取得最小值g（a）=a²-2=（2$\sqrt{2}$）²，解得a=$\sqrt{10}$．
综上可知：a=-1或$\sqrt{10}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．