Question

2．函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$是区间（-b，b）上的奇函数（a，b∈R且a≠-2），则a^b的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\sqrt{2}}]$
• B． $（{0，\sqrt{2}}]$
• C． $（{1，\sqrt{2}}）$
• D． $（{0，\sqrt{2}}）$

Answer 1

分析 利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围，利用指数函数的性质求出a^b的范围．

解答 解：∵定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$是奇函数，x∈（-b，b），
∴f（-x）=-f（x），即lg$\frac{1+ax}{1-2x}$=$-lg\frac{1-ax}{1+2x}$，$\frac{1+ax}{1-2x}$=$\frac{1+2x}{1-ax}$，
∴1-a²x²=1-4x²，解得a=±2，
又∵a≠-2，∴a=2；则函数f（x）=$lg\frac{1+2x}{1-2x}$，
要使函数有意义，则$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0
解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，即函数f（x）的定义域为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴（-b，b）⊆（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），∴0＜b≤$\frac{1}{2}$，∵y=2^x是增函数，
∴a^b的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．