Question

5．若函数f（x）=cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为$\frac{π}{4}$，且x=$\frac{2π}{3}$时f（x）有最小值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）请直接在给定的坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（注：作图过程可以省略）
（Ⅲ）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）利用周期为4×$\frac{π}{4}$=π计算ω，根据f（$\frac{2π}{3}$）=-1和φ的取值范围计算φ；
（II）使用五点法作图；
（III）根据x的范围得出2x-$\frac{π}{3}$的范围，利用余弦函数的图象与性质得出f（x）的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为$\frac{π}{4}$，
∴f（x）的周期T=π，即$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．
又∵x=$\frac{2π}{3}$时f（x）有最小值，
∴f（$\frac{2π}{3}$）=cos（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，
∴$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ+π，解得φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）作出函数图象如下：

（Ⅲ）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，
∴当2x-$\frac{π}{3}$=π时，f（x）取得最小值-1，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的值域是[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查了三角函数解析式的解法，余弦函数的图象与性质，属于中档题．