Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=5，且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*），变形为a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ，$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，即可证明．
（2）利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*），
∴a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}为等差数列，首项为2，公差为1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．