Question

3．已知函数f（x）=2|x|+cosx-π，则不等式（x-2）f（x）＞0的解集是：（2，+∞）∪（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 分别讨论x≥0，x＜0时的f（x）的单调性，得到f（x）的符号，从而求出不等式组的解集．

解答 解：x≥0时，f（x）=2x+cosx-π，
f′（x）=2-sinx＞0，
f（x）在[0，+∞）递增，
而f（$\frac{π}{2}$）=0，
故f（x）＜0在[0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
f（x）＞0在（$\frac{π}{2}$，+∞）恒成立，
x＜0时，f（x）=-2x+cosx-π，
f′（x）=-2-sinx＜0，
f（x）在（-∞，0）递减，
f（0）=1-π＜0，
故f（x）＜0在（-∞，0）恒成立；
综上，x＜$\frac{π}{2}$时，f（x）＜0，x＞$\frac{π}{2}$时，f（x）＞0，
若（x-2）f（x）＞0，
则$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
∴x＞2或-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$，
故答案为：（2，+∞）∪（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的解法，是一道中档题．