Question

13．设命题P：函数f（x）=lg（x²-ax+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切实数x均成立，如果命题p和q都是假命题，则实数a的取值范围为a≤0或a=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 命题P：根据函数f（x）=lg（x²-ax+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R，则△＜0，解得a范围．命题q：3^x-9^x=-$（{3}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$∈$（-∞，\frac{1}{4}]$，由于不等式3^x-9^x＜a对一切实数x均成立，可得a＞（3^x-9^x）_max．再根据命题p和q都是假命题，即可得出．

解答 解：命题P：函数f（x）=lg（x²-ax+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R，则△=${a}^{2}-4×\frac{1}{16}a$＜0，解得$0＜a＜\frac{1}{4}$．
命题q：3^x-9^x=-（3^x）²+3^x=-$（{3}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$∈$（-∞，\frac{1}{4}]$，由于不等式3^x-9^x＜a对一切实数x均成立，∴$a＞\frac{1}{4}$．
∵命题p和q都是假命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥\frac{1}{4}}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得a≤0或a=$\frac{1}{4}$．
则实数a的取值范围为a≤0或a=$\frac{1}{4}$．
故答案为：a≤0或a=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．