Question

10．已知集合A={（x，y）|$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1}，集合B={（x，y）|（m+1）x+（2m-1）y-3m=0，m∈R}．
（1）求证：无论m取何值时，集合B中必有一个确定的元素；
（2）求集合A∩B的子集个数．

Answer 1

分析 （1）利用直线系方程求出直线（m+1）x+（2m-1）y-3m=0恒过的定点（1，1），说明集合B={（x，y）|（m+1）x+（2m-1）y-3m=0，m∈R}中必有一个确定的元素；
（2）由直线过的定点在椭圆内部，说明直线与椭圆相交，由此说明A∩B中含有两个元素，可得集合A∩B的子集个数．

解答 （1）证明：由集合B={（x，y）|（m+1）x+（2m-1）y-3m=0，m∈R}，
即（x+2y-3）m+x-y=0，
∴x+2y-3=0，①
且x-y=0，②
由①②联立，解得：x=1，y=1．
∴函数图象过定点（1，1）．
即无论m取何值时，集合B中必有一个确定的元素；
（2）把点（1，1）代入$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，得$\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}＜1$，
∴点（1，1）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1内部，
∴直线（m+1）x+（2m-1）y-3m=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1相交，
则集合A∩B有两个元素，其子集个数4．

点评 本题考查元素与集合间关系的判断，考查了交集及其运算，考查了直线系方程，训练了直线与椭圆间的关系，是中档题．