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函数y=f(x)(xR)有下列命题:

①在同一坐标系中,y=f(x+1)y=f(-x+1)的图象关于直线x=1对称;

②若f(2-x)=f(x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;

③若f(x-1)=f(x+1),则函数y=f(x)是周期函数,2是一个周期;

④若f(2-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是    .

 

②③④

【解析】对于①,y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,y=f(-x+1)的图象,y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到,y=f(x)y=f(-x)关于y轴对称,从而y=f(x+1)y=f(-x+1)的图象关于直线x=0对称,故①错;

对于②,f(2-x)=f(x)x换为x+1可得f(1-x)=f(1+x),从而②正确;

对于③,f(x-1)=f(x+1)x换为x+1可得,f(x+2)=f(x),从而③正确.

对于④,f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),从而④正确.

【误区警示】解答本题时,易误以为①正确,出错的原因是混淆了两个函数y=f(x+1)y=f(-x+1)的图象关系与一个函数y=f(x)满足f(x+1)=f(-x+1)时图象的对称关系.

 

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