Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，其中PA=PB，四边形ABCD是菱形，N为AC的中点，M是△PCD的中线PQ的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）证明：平面MNC⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连BD，交AC于N，连结BQ，取BQ中点E，连结ME，NE，则EM∥PB，EN∥DQ，从而平面PAB∥平面EMN，由此能证明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AB中点O，连结PO，QO，推导出PO⊥平面ABCD，从而MN⊥平面ABCD，由此能证明平面MNC⊥平面ABCD．

解答 证明：（Ⅰ）连BD，交AC于N，连结BQ，取BQ中点E，连结ME，NE，
∵四边形ABCD是菱形，N为AC的中点，M是△PCD的中线PQ的中点，
∴N是BD中点，∴EM∥PB，EN∥DQ，
∵DQ∥AB，∴EN∥AB，
∵PB∩AB=B，EM∩EN=E，
PB、AB?平面PAB，EM、EN?平面EMN，
∴平面PAB∥平面EMN，
∵MN?平面EMN，∴MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AB中点O，连结PO，QO，
∵在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，PA=PB，四边形ABCD是菱形，
N为AC的中点，M是△PCD的中线PQ的中点，
∴PO⊥AB，MN∥PO，∴PO⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，
∵MN?平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABCD．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．