Question

18．已知函数f（x）=|lnx|，若在区间$[\frac{1}{3}，3]$内，曲线g（x）=f（x）-ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$
• B． $[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{2e}）$
• C． $（0，\frac{1}{e}）$
• D． $（0，\frac{1}{2e}）$

Answer 1

分析 画出函数y=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间$[\frac{1}{3}，3]$上有三个零点，进行判断．

解答 解：函数y=|lnx|的图象如图示：
当a≤0时，显然，不合乎题意，
当a＞0时，如图示，

当x∈（$\frac{1}{3}$，1]时，存在一个零点，
当x＞1时，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
若g′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜$\frac{1}{a}$，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{a}）＞0}\\{g（3）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
在区间（0，3]上有三个零点时，
实数a的取值范围是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$），
故选：A．

点评 本题重点考查函数的零点，考查数形结合思想，属于中档题，难度中等．