Question

【题目】在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）试问在上是否存在两点关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）设，则点，将代入圆，可得的方程；（2）可判断直线存在斜率，设直线的方程为，联立，消去并整理得，设，利用根与系数可得，依题意，可得，即，化为，由的中点在直线上，可得，代入化简解出即可.

（1）设，则点，

将代入圆，

可得

的方程为.

（2）显然，直线存在斜率，设直线的方程为，

联立，消去并整理得，

,化为，

设，

则，

依题意，可得，，

又，

，

，

解得，

由的中点在直线上，

，

，化为，

把代入化为，

解得（舍去）或，

，解得，

满足，即满足，

在上存在两点关于直线对称,且以为直径的圆恰好经过坐标原点，直线的方程为.