Question

11．（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证：$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$
（2）设x＞-1，m∈N^*，用数学归纳法证明：（1+x）^m≥1+mx．

Answer 1

分析 （1）方法一，用综合法，即利用作差法；方法二，分析法，两边平方法；
（2）要证明当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx，我们要先证明m=1时，（1+x）^m≥1+mx成立，再假设m=k时，（1+x）^m≥1+mx成立，进而证明出m=k+1时，（1+x）^m≥1+mx也成立，即可得到对于任意正整数m：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx．

解答 （1）证明　方法一　用综合法
$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$-$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$=$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$
=$\frac{（a-b）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）2（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$＞0，
所以$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$．
方法二　用分析法
要证$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$，
只要证$\frac{a2}{b}$+$\frac{b2}{a}$+2$\sqrt{ab}$＞a+b+2$\sqrt{ab}$，
即要证a³+b³＞a²b+ab²，
只需证（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b），
即需证a²-ab+b²＞ab，
只需证（a-b）²＞0，
因为a≠b，所以（a-b）²＞0恒成立，
所以$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$成立．
（2）证明①当m=1时，原不等式成立；
当m=2时，左边=1+2x+x²，右边=1+2x，
因为x²≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
②假设当m=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，
即（1+x）^k≥1+kx，则当m=k+1时，
因为x＞-1，所以1+x＞0．
于是在不等式（1+x）^k≥1+kx两边同时乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²
≥1+（k+1）x．
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x，
即当m=k+1时，不等式也成立．
综合①②知，对一切正整数m，不等式都成立．

点评 本题考查了综合法和分析法以及数学归纳法证明不等式成立的问题，掌握这些方法的步骤是关键，属于中档题．