Question

6．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）写出a的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．
（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有450人，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人．由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人．
（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，利用列举法能求出至少抽到1名高中生的概率．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，
∴a=0.03．…（3分）
（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…（4分）
∵初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，
∴所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人，…（6分）
同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，
学生人数约有0.35×1200=420人．
∴该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人．…（8分）
（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，…（9分）
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人．
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×40=2人．…（10分）
记这3名初中生为A₁，A₂，A₃，这2名高中生为B₁，B₂，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，
即：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
而事件A的结果有7种，它们是：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
∴至少抽到1名高中生的概率P（A）=$\frac{7}{10}$．…（13分）

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．