Question

3．已知a，b，c均为正实数，且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$=1．
（1）证明：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≤$\sqrt{3}$；
（2）求证：$\frac{{a}^{2}}{{b}^{4}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{4}}$+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{4}}$≥1．

Answer 1

分析 （1）运用均值不等式，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ca}$，再由两边平方即可得到证明；
（2）由均值不等式可得$\frac{{a}^{2}}{{b}^{4}}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥$\frac{2}{{b}^{2}}$，$\frac{{b}^{2}}{{c}^{4}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2}{{c}^{2}}$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{4}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{2}{{a}^{2}}$，相加即可得证．

解答 证明：（1）由a，b，c均为正实数，且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$=1，
可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2}{ab}$，$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{2}{bc}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{2}{ac}$，
相加可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ca}$，
即有（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）²=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$+2（$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ca}$）
≤3（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）=3，当且仅当a=b=c=$\sqrt{3}$取得等号；
（2）由a，b，c均为正实数，且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$=1，
可得$\frac{{a}^{2}}{{b}^{4}}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{b}^{4}}•\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\frac{2}{{b}^{2}}$，
$\frac{{b}^{2}}{{c}^{4}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2}{{c}^{2}}$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{4}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≥$\frac{2}{{a}^{2}}$，
相加可得$\frac{{a}^{2}}{{b}^{4}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{4}}$+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{4}}$≥$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$=1，
即有原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．