Question

12．设P为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任一点，F₁，F₂为椭圆的焦点，|PF₁|+|PF₂|=4，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（m≠0）经过点（-1，0），且与椭圆交于P、Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的定义可得a=2，由离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可得k=m，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和等比数列的中项的性质，化简整理可得k的值，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，可得a=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
则椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）由直线y=kx+m经过点（-1，0），可知，k=m，
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+k\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消y，得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0，
由直线与椭圆交于不同的两点，可得△=64k⁴-16（k²-1）（4k²+1）＞0，解得k∈R，
由韦达定理得，${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，
由题意知，k²=k_OP•k_OQ，
即${k^2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}+\frac{{{k^2}（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}+\frac{k^2}{{{x_1}{x_2}}}$，
所以$\frac{{{k^2}（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}+\frac{k^2}{{{x_1}{x_2}}}=0$，即-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+1=0，
即${k^2}=\frac{1}{4}$，即为k=±$\frac{1}{2}$，
所以直线l的方程为x-2y+1=0或x+2y+1=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和离心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及等比数列的中项的性质和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．