Question

7．已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式f（x）≥t对?x∈R恒成立．
（1）求t的取值范围；
（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a²+b²=T，求证：$\frac{2}{{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}$≤$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，即可求t的取值范围；
（2）求出t的最大值为T，化简a²+b²=T，利用基本不等式证明：$\frac{2}{{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}$≤$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3，所以t≤3．（5分）
（2）证明：由（1）知T=3，所以a²+b²=3（a＞0，b＞0）
因为a²+b²≥2ab，所以$ab≤\frac{3}{2}$，又因为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥\frac{2}{{\sqrt{ab}}}$，
所以$\frac{2}{{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}≤\sqrt{ab}≤\frac{{\sqrt{6}}}{2}$（当且仅当a=b时取“=”）．（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的值应用，基本不等式的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力，转化思想的应用．