有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙.已知从城市甲到城市乙只有两条公路.且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计.通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表:所用的时间10111213通过公路l的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A只能在约定日期的前11天� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：

所用的时间（天数）	10	11	12	13
通过公路l的频数	20	40	20	20
通过公路2的频数	10	40	40	10

假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．
（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．

分析（I）先求出频率分布表，设A₁，A₂分别表示汽车A在约定日期前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，B₁，B₂分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，分别求出相应的概率，能得到汽车A选择公路1．汽车B选择公路2
（Ⅱ）设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X的所有可能取值有42，40，38，36，分别求出相应的概率，从而得到汽车A选择公路1的毛利润；设Y表示汽车B选择公路2时，销售商付给生产商的费用，则Y的所有可能取值有44，42，40，38，分别求出相应的概率，从而得到汽车B选择公路2的毛利润，由此能求出汽车B为生产商获得的毛利更大．

解答解：（I）频率分布表如下：

所有的时间（天数）	10	11	12	13
通过公路1的频率	0.2	0.4	0.2	0.2
通过公路2的频率	0.1	0.4	0.4	0.1

设A₁，A₂分别表示汽车A在约定日期前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，
B₁，B₂分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，
P（A₁）=0.2+0.4=0.6，
P（A₂）=0.1+0.4=0.5，
P（B₁）=0.2+0.4+0.2=0.6，
P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，
所以汽车A选择公路1．汽车B选择公路2
（Ⅱ）设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X的所有可能取值有42，40，38，36，
P（X=42）=0.2，P（X=40）=0.4，P（X=38）=0.2，P（X=36）=0.2，
则X的分布列如下：

X	42	40	38	36
P	0.2	0.4	0.2	0.2

EX=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2，
∴汽车A选择公路1的毛利润是39.2-3.2=36（万元）．
设Y表示汽车B选择公路2时，销售商付给生产商的费用，则Y的所有可能取值有44，42，40，38，
P（Y=44）=0.1，P（Y=42）=0.4，P（Y=40）=0.4，P（Y=38）=0.1，
则Y的分布列如下：

Y	44	42	40	38
P	0.1	0.4	0.4	0.1

EY=44×0.1+42×0.4+40×0.4+38×0.1=41，
∴汽车B选择公路2的毛利润是41-1.6=39.4（万元），
∵36.0＜39.4，
汽车B为生产商获得的毛利更大．

点评本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的性质及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用．

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类型	A类	B类	C类
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已行驶总里程超过10万公里的车辆数	20	20	20

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产品编号	①	②	③	④	⑤
电压（x）	10	15	20	25	30
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（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？
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（附：回归方程：$\hat y=bx+a$，其中：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}{y_i}）-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$
参考数据：$\overline{x}=20$，$\overline{y}$=1.1，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=121，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=2250）

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