Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

x

y

）=f（x）-f（y），且当x＞1时，f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（3）=1不等式 f(x)-f(

1

x-8

)≥2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（1）的值；
（2）根据函数的单调性的性质和定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（3）=1将不等式 f(x)-f(

1

x-8

)≥2进行等价转化，结合函数单调性的性质解不等式即可．

解答： 解：（1）∵定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f(

x

y

)=f(x)-f(y)，
令x=y=1，则f(

1

1

)=f(1)-f(1)，
故f（1）=0．
（2）设任意的0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0⇒f(x1)＜(fx2)，
∴f（x）是（0，+∞）上的增函数．
（3）∵f（3）=1，f(x)-f(

1

x-8

)≥2
∴f（

x

1 x-8

）-f（3）≥f（3），
由（2）知f（x）是（0，+∞）上的增函数，
故

x(x-8) 3 ≥3 x＞0 1 x-8 ＞0

⇒

x≤-1，x≥9 x＞0 x＞8

⇒x≥9，
∴原不等式的解集是[9，+∞）．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性将不等式进行转化是解决本题的关键．