Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，A₁A=1．
（1）求证：直线BC₁∥平面D₁AC．
（2）求D₁C与平面D₁BC₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用线面平行的判定定理，只要判断直线BC₁与AD₁平行即可；
（2）以D₁为坐标原点，分别以D₁A₁，D₁C₁，D₁D为x，y，z轴作空间直角坐标系，写出所需点的坐标，利用平面的法向量与直线向量的夹角的余弦值等于线面角的正弦值解答．

解答： （1）证明：∵几何体为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，
∴AD₁∥BC₁，
∵AD₁?平面ACD₁，BC₁?平面ACD₁
∴直线BC₁∥平面ACD₁；
（2）解：以D₁为坐标原点，分别以D₁A₁，D₁C₁，D₁D为x，y，z轴作空间直角坐标系，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，
∴D₁（0，0，0），A（1，0，1），C（0，2，1），B（1，2，1）
∴

AB

=（0，2，0），

AC

=（-1，2，0），

AD1

=（1，0，1），
设平面ACD₁的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AB =0 n • AD1 =0

，即

-x+2y=0 x+z=0

，令y=1，则

n

=（2，1，-1），
∴直线AB与平面ACD₁所成角的正弦值等于cos＜

n

，

AB

＞=

n • AB

| n || AB |

=

2

2× 6

=

6

6

．

点评：本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求线面角；关键是适当建立坐标系，正确写出向量的坐标，利用向量的数量积解答，属于中档题．