Question

函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设，现给出如下命题：
（1）f（x）=

1

x

在[1，3]上具有性质P；
（2）若f（x）在[1，3]上具有性质P，f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
（3）若f（x）在[1，3]上具有性质P，则f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
（4）若f（x）在[1，3]上具有性质P，f（x²）在[1，

3

]上具有性质P；
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x）在[a，b]上具有性质P的定义，结合函数凸凹性的性质，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）f（x）=

1

x

在[1，3]上为减函数，则由图象可知对任意x₁，x₂∈[1，3]，有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，成立，故（1）正确，
（2）在[1，3]上，f（2）=f[

x+(4-x)

2

]≤

1

2

[f（x）+f（4-x）]，
∵F（x）在x=2时取得最大值1，
∴

f(x)+f(4-x)≥2 f(x)≤f(x)max=1 f(4-x)≤f(x)max=1

，
∴f（x）=1，即对任意的x∈[1，3]，有f（x）=1，故（2）正确；

（3）反例：f（x）=

( 1 2 )x， 1≤x＜3 2， x=3

，在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故（3）不成立；
（4）反例：f（x）=-x在[1，3]上满足性质P，但f（x²）=-x²在[1，

3

]上不满足性质P，故（4）不成立；
综上正确的命题是（1），（2）

点评：本题是一道新定义题，实质上是考查函数的凹凸性及应用，解题的关键是理解这一性质，灵活运用这一性质，可通过举反例，以及利用数形结合是解决本题的关键．