Question

如图，在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）由正方形性质得AA₁⊥AC，由面面垂直得AA₁垂直于这两个平面的交线AC，由勾股定理得AC⊥AB，由此能证明AA₁⊥平面ABC．
（2）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面A₁BC₁的法向量和平面B₁BC₁的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

解答： （1）证明：因为AA₁C₁C为正方形，所以AA₁⊥AC．
因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
且AA₁垂直于这两个平面的交线AC，
又AA₁C₁C是边长为4的正方形，AB=3，BC=5．
所以AC=4，AC²+AB²=BC²，即AC⊥AB，
又AA₁∩AB=A，
所以AA₁⊥平面ABC．
（2）解：由（1）知AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．
如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，
则B（0，3，0），A₁（0，0，4），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4）．
设平面A₁BC₁的法向量为

n

=（x，y，z），

A1B

=（0，3，-4），

A1C1

=（4，0，0），
则

n • A1B =3y-4z=0 n • A1C1 =4x=0

令z=3，则x=0，y=4，所以

n

=（0，4，3）．
同理可得，平面B₁BC₁的一个法向量为

m

=（3，4，0）．
所以cos＜n，m＞=

n•m

|n||m|

=

16

25

．
由题知二面角A₁BC₁B₁为锐角，
所以二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值为

16

25

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．