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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），其中F1，F2为左、右焦点，O为坐标原点．直线l与椭圆交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点．当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
    π
    4
    时，原点O到直线l的距离为
    		2
    2
    ．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
    		3
    -1．
    （I）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为
    		6
    时，求平行四边形OQNP的对角线之积|ON|•|PQ|的最大值；
    （Ⅲ）若抛物线C2：y2=2px（p＞0）以F2为焦点，在抛物线C2上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（I）直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
    π
    4
    时，可得直线l的方程为：y=x-c．由原点O到直线l的距离为
    		2
    2
    ，可得
    c
    		2
    =
    		2
    2
    ，解得c．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
    		3
    -1，可得a-c=
    		3
    -1，解得a，b2=a2-c2．即可得出椭圆C的方程．
    （II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，由
    x
    2
    1
    3
    +
    y
    2
    1
    2
    =1，|2x1•2y1|=
    		6
    ，可得|ON|•|PQ|=2
    		6
    ．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0，由△＞0，解得3k2+2＞m2．利用根与系数的关系可得|PQ|=
    		(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
    ，原点到直线l的距离d=
    |m|
    		1+k2
    ，利用S△POQ=
    1
    2
    d|PQ|    =
    		6
    2
    ，化为3k2+2=2m2，满足△＞0．设M（x0，y0）为PQ的中点，可得|OM|2=
    x
    2
    0
    +
    y
    2
    0
    =
    1
    2
    (3-
    1
    m2
    )    ，|PQ|2=2(2+
    1
    m2
    )    ，可得|OM|2|PQ|2=(3-
    1
    m2
    )(2+
    1
    m2
    )    ，利用基本不等式的性质即可得出．
    （III）由题意可得抛物线C2：y2=4x，由以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，可得∠ORS=90°．可得
    OR
    •
    SR
    =0．设S（x3，y3），R（x4，y4），可得y4（y4-y3）=-16．利用基本不等式的性质可得y3≥8，或y3≤-8，x3≥16．即可得出．
    解答： 解：（I）直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
    π
    4
    时，
    ∴直线l的方程为：y=x-c．
    ∵原点O到直线l的距离为
    		2
    2
    ，
    ∴
    c
    		2
    =
    		2
    2
    ，解得c=1．
    又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
    		3
    -1，
    ∴a-c=
    		3
    -1，解得a=
    		3
    ，
    ∴b2=a2-c2=2．
    ∴椭圆C的方程为
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    ．
    （II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．
    ①当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，
    由
    x
    2
    1
    3
    +
    y
    2
    1
    2
    =1，|2x1•2y1|=
    		6
    ，解得|x1|=
    		6
    2
    ，|y1|=1．
    ∴|ON|•|PQ|=2
    		6
    ．
    ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
    联立
    y=kx+m
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1
    ，化为（2+3k2）x2+6kmx+3m2-6=0，
    由△＞0，解得3k2+2＞m2．
    ∴x1+x2=-
    6km
    2+3k2
    ，x1x2=
    3m2-6
    2+3k2
    ，
    ∴|PQ|=
    		(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
    =
    2
    		6
    		1+k2
    		3k2+2-m2
    2+3k2
    ，
    原点到直线l的距离d=
    |m|
    		1+k2
    ，
    ∴S△POQ=
    1
    2
    d|PQ|    =
    		6
    		3k2+2-m2
    |m|
    2+3k2
    =
    		6
    2
    ，
    化为3k2+2=2m2，满足△＞0．
    设M（x0，y0）为PQ的中点，则x0=
    x1+x2
    2
    =-
    3k
    2m
    ，y0=kx0+m=
    1
    m
    ．
    ∴|OM|2=
    x
    2
    0
    +
    y
    2
    0
    =
    9k2
    4m2
    +
    1
    m2
    =
    1
    2
    (3-
    1
    m2
    )    ，|PQ|2=2(2+
    1
    m2
    )    ，
    ∴|OM|2|PQ|2=(3-
    1
    m2
    )(2+
    1
    m2
    )    ≤
    25
    4
    ，当且仅当m=±
    		2
    时取等号．
    ∴|OM||PQ|的最大值为
    5
    2
    ．
    ∴|ON|•|PQ|=2|OM||PQ|的最大值为5．
    综上可得：ON|•|PQ|的最大值为5．
    （III）由题意可得抛物线C2：y2=4x，
    ∵以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，∴∠ORS=90°．∴
    OR
    •
    SR
    =0．
    设S（x3，y3），R（x4，y4），
    则
    OR
    •
    SR
    =x4（x4-x3）+y4（y4-y3）=
    y
    2
    4
    (
    y
    2
    4
    -
    y
    2
    3
    )
    16
    +y4（y4-y3）=0．
    ∵y4（y4-y3）≠0，∴y4（y4-y3）=-16．
    ∴y3=
    16
    y4
    +y4    ≥8，或y3≤-8
    x3≥
    y
    2
    3
    4
    =16．
    ∴该圆面积最小时点S的坐标为（16，±8）．
    点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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    1+i
    1-i
    ）6+
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    +
    		3
    i
    		3
    -
    		2
    i
    =
     
    ．

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    A、
    		5
    5
    B、
    2
    		5
    5
    C、
    3
    		5
    5
    D、
    4
    		5
    5

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    •
    b
    =0，向量
    c
    满足（
    c
    -
    a
    ）•（
    c
    -
    b
    ）=0，|
    a
    -
    b
    |=5，|
    a
    -
    c
    |=3，则
    a
    •
    c
    的最大值为
     
    ．

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    ．

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    a
    ，
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    a
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    b
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    A、
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