Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，PO=

3

，AB=4，∠BAD=

π

3

，M为棱BC上一点，且BM=1．
（1）求二面角B-AP-M的平面角的余弦值；
（2）在侧棱PD上确定一点N，使ON∥平面APM．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．求出平面ABP的一个法向量和平面AMP的一个法向量，由此能求出二面角B-AP-M的余弦值．
（2）D（0，-2，0），

PD

=(0，-2，-

3

)．设

PN

=λ

PD

，由ON∥平面APM，得

ON

•

n2

=0，由此能求出当

PN

=

3

8

PD

时，有ON∥平面APM．

解答： 解：（1）连结AC，BD，
以O为坐标原点，OA，OB，OP方向分别为x，y，z轴正方向，
建立空间直角坐标系Oxyz．
因为四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=

π

3

，
则A（2

3

，0，0），B（0，2，0），C（-2

3

，0，0），P（0，0，

3

）．

AB

=（-2

3

，2，0），

AP

=（-2

3

，0，

3

），

BP

=（0，-2，

3

）．…（2分）
设平面ABP的一个法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），
则

AB • n1 =-2 3 x1+2y1=0 AP • n1 =-2 3 x1+ 3 z1=0

，
取x₁=1，得平面ABP的一个法向量为

n1

=（1，

3

，2）．…（4分）
又BM=1，

MB

=

1

4

CB

=（

3

2

，

1

2

，0），

MP

=

MB

+

BP

=（

3

4

，-

3

4

，h），

MP

=

MB

+

BP

=(

3

2

，-

3

2

，

3

)．  …（6分）
设平面AMP的一个法向量为

n2

=(x，y，z)，
则

AP • n2 =-2 3 x+ 3 z=0 MP • n2 = 3 2 x- 3 2 y+ 3 z=0

，
取z=2，得平面AMP的一个法向量为

n2

=（1，

5 3

3

，2）．…（8分）
二面角B-AP-M的平面角为α，
则cosα=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1+5+4

8 • 1+ 25 3 +4

=

15

4

．…（10分）
（2）D（0，-2，0），

PD

=(0，-2，-

3

)．
设

PN

=λ

PD

=（0，-2λ，-

3

λ），…（12分）
则

ON

=

OP

+

PN

=（0，-2λ，

3

-

3

λ），
∵ON∥平面APM，∴

ON

•

n2

=-

10 3 λ

3

+2

3

(1-λ)=0，解得λ=

3

8

，
所以当

PN

=

3

8

PD

时，有ON∥平面APM．…（14分）

点评：本题考查满足条件的点的坐标的确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．