Question

若-3≤log_0.5x≤

3

2

，求函数f（x）=（log₂x-1）•log₂

x

4

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法设t=log₂x，将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵-3≤log_0.5x≤

3

2

，
∴-3≤-log₂x≤

3

2

，
即-

3

2

≤log₂x≤3，
f（x）=（log₂x-1）•log₂

x

4

=（log₂x-1）•（log₂x-2），
设t=log₂x，则-

3

2

≤t≤3，
则函数等价为g（t）=（t-1）•（t-2）=t²-3t+2=（t-

3

2

）²-

1

8

，
∴当t=

3

2

时，函数取得最小值为g（

3

2

）=-

1

8

，
当t=-

3

2

时，函数取得最大值为g（-

3

2

）=

71

8

．

点评：本题主要考查函数最值的应用，利用对数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．注意使用换元法．