Question

已知

a

•

b

=0，向量

c

满足（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，|

a

-

b

|=5，|

a

-

c

|=3，则

a

•

c

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：

a

•

b

=0，可设

a

=（m，0），

b

=（0，n），

c

=（x，y），由于|

a

-

b

|=5，可得m²+n²=25，记此圆为⊙M．根据（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，可得点C也在⊙M上．由于|

a

-

c

|=3，|

AC

|=3，可得|

BC

|=4．过点C分别作CD⊥y轴，CE⊥x轴，垂足分别为D，E．设∠CBD=θ，则∠OAC=θ．则x=4sinθ=m-3cosθ，可得

a

•

c

=mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）=10sin（2θ-φ）+8即可得出．

解答： 解：由

a

•

b

=0，建立如图所示的直角坐标系．
可设

a

=（m，0），

b

=（0，n），

c

=（x，y），
∵|

a

-

b

|=5，
∴m²+n²=25．记此圆为⊙M．
∵（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，
∴

c

2-

c

•(

a

+

b

)=0，
∴x²+y²-mx-ny=0，
化为(x-

m

2

)2+(y-

n

2

)2=

25

4

．
说明点C在⊙M上．

BC

=

c

-

b

，

AC

=

c

-

a

，
∵|

a

-

c

|=3，
∴|

AC

|=3，
∴|

BC

|=4．
过点C分别作CD⊥y轴，CE⊥x轴，垂足分别为D，E．
设∠CBD=θ，则∠OAC=θ．
则x=4sinθ=m-3cosθ，
∵

a

•

c

=mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）
=16sin²θ+12sinθcosθ
=8（1-cos2θ）+6sin2θ
=10sin（2θ-φ）+8≤18．
∴

a

•

c

的最大值为18．
故答案为：18．

点评：本题考查了向量的数量积运算、模的计算公式、圆的标准方程、三角函数代换、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．