Question

如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点
（Ⅰ）求证：平面BC′D∥面AB′D′；
（Ⅱ）求面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取B′D′的中点为F，连AF，C′F，由已知得AFC′E为平行四边形，由此能证明平面BC′D∥面AB′D′．
（Ⅱ）连结EF，由已知得面AB′D′与面ABD所成锐二面角为∠EAF，由此能求出面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：如图取B′D′的中点为F，连AF，C′F，
∵正三棱柱BCD-B′C′D′，四边形ABCD是菱形，
∴B′D′∥BD，C′F

∥

.

AE，∴AFC′E为平行四边形．
∴AF∥C′E，又BD∩C′E=E，
∴平面BC′D∥面AB′D′．
（Ⅱ）解：连结EF，由已知得EF⊥平面ABD，
∴面AB′D′与面ABD所成锐二面角为∠EAF，
∵所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B′C′D′，
四边形ABCD是菱形，
∴EF=2，AE=

4-1

=

3

，AF=

4+3

=

7

，
∴cos∠EAF=

AE

AF

=

3

7

=

21

7

，
∴面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值为

21

7

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、线面角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．