Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=

- 1 4 x2，0≤x≤2 -( 1 2 )x- 3 4 ，x＞2

，若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+

7a

16

=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数奇偶性的性质,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]²+af（x）+

7a

16

=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t²+at+

7a

16

=0的两根均在（-1，-

3

4

），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．

解答： 解：当0≤x≤2时，y=-

1

4

x²递减，当x＞2时，y=-（

1

2

）^x-

3

4

递增，
由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，
则f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递减，在（-2，0）和（2，+∞）上递增，
当x=0时，函数取得极大值0；
当x=±2时，取得极小值-1．
当0≤x≤2时，y=-

1

4

x²∈[-1，0]．当x＞2时，y=-（

1

2

）^x-

3

4

∈[-1，-

3

4

）
要使关于x的方程[f（x）]²+af（x）+

7a

16

=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，
设t=f（x），则t²+at+

7a

16

=0的两根均在（-1，-

3

4

）．
则有

a2- 7a 4 ＞0 -1＜- a 2 ＜- 3 4 1-a+ 7a 16 ＞0 9 16 - 3a 4 + 7a 16 ＞0

，即为

a＞ 7 4 或a＜0 3 2 ＜a＜2 a＜ 16 9 a＜ 9 5

，
解得

7

4

＜a＜

16

9

．
即有实数a的取值范围是（

7

4

，

16

9

）．
故答案为：（

7

4

，

16

9

）．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．