Question

已知函数f（x）=

a x-1 ，x≤0 lgx，x＞0

，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：对a讨论，分a=0，a＞0，a＜0，三种情况，运用换元法，令t=f（x），f（f（x））=0即为f（t）=0，讨论函数f（x）在x＞0和x≤0的值域，结合条件有且只有一个实数解，分析即可得到a的范围．

解答： 解：若a=0时，x≤0，f（x）=0，
令t=f（x），f（f（x））=0即为f（t）=0，则有无数个解，不成立；
若a＞0，则x≤0，f（x）=

a

x-1

＜0，
方程f（f（x））=0即为f（t）=0，即有f（1）=0，t=1，f（x）=1，解得x=10，成立；
若a＜0，则x≤0，f（x）=

a

x-1

∈（0，-a]，
方程f（f（x））=0即为f（t）=0，即有f（1）=0，
由于关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，
即f（x）=1只有一解，则有-a＜1，即为a＞-1，
则有-1＜a＜0．
综上可得，a＞0或-1＜a＜0．
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．

点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的零点和方程的根的关系，运用分类讨论的思想和函数的值域是解题的关键．