Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD
=2，点M在线段PC上，且

PM

=λ

MC

（0≤λ≤1），N为AD的中点
（1）求证：BC⊥平面PNB
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且二面角M-BN-D为60°，求λ的值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PN⊥AD，△ABD为等边三角形，BN⊥AD，从而AD⊥平面PNB，由AD∥BC，能证明BC⊥平面PNB．
（2）分别以NA，NB，NP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BMN的一个法向量和平面BCD的一个法向量，由此结合已知条件利用向量法能求出λ的值．

解答： 解：（1）证明：∵PA=AD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
又∴N为AD的中点，
∴BN⊥AD，又PN∩BN=N，
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，
如图，分别以NA，NB，NP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，

3

，0），
C（-2，

3

，0），D（-1，0，0），P（0，0，

3

），
设M（x，y，z），则

PM

=（x，y，z-

3

），

MC

=（-2-x，

3

-y，-z），
∴λ

MC

=（-2λ，

3

λ-λy，-λz），
由

PM

=λ

MC

（0≤λ≤1），得

x=-2λ-λx y= 3 λ-λy z- 3 =-λz

，
解得x=

-2λ

λ+1

，y=

3 λ

λ+1

，z=

3

λ+1

，
∴M（

-2λ

λ+1

，

3 λ

λ+1

，

3

λ+1

），
∴

BM

=（

-2λ

λ+1

，-

3

λ+1

，

3

λ+1

），

NB

=（0，

3

，0），
设

n

=（x，y，z）是平面BMN的一个法向量，
则

-2λ λ+1 x- 3 λ+1 y+ 3 λ+1 z=0 3 y=0

，
取z=

3

，得

n

=（

3

2λ

，0，

3

），
又平面BCD的一个法向量为

m

=（0，0，

3

），
∵二面角M-BN-D为60°，
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

3

9+12λ2 2λ × 3

=cos60°，
解得λ=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．