Question

过抛物线y²=4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|．直线为x+y-1=0，即x=1-y代入y²=4x得：y²=4（1-y），由此能求出△OAB的面积．

解答： 解：抛物线焦点为（1，0），直线l方程为y=x-1，
直线AB即为x+y-1=0，即x=1-y代入y²=4x得：
y²=4（1-y），即y²+4y-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16+16

=4

2

，
∴S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

×4

2

=2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理设而不求，进而利用弦长公式求得问题的答案．