Question

已知向量

a

=（cosax，sinax），

b

=（

3

cosax，-cosax），其中a＞0，若f（x）=

a

•

b

的图象与y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列．
（Ⅰ）求a和m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（

A

2

）=

3

2

，且BC=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：等差数列与等比数列,解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的余弦公式，化简f（x），再由相切可得m为f（x）的最大值，再由等差数列的通项公式可得a=1；
（Ⅱ）由f（x）的解析式，可得A，再由余弦定理和基本不等式，可得bc的最大值为16，运用三角形的面积公式计算即可得到所求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于向量

a

=（cosax，sinax），

b

=（

3

cosax，-cosax），其中a＞0，
则f（x）=

a

•

b

=

3

cos²ax-sinaxcosax=

3

2

（1+cos2ax）-

1

2

sin2ax=

3

2

+cos（2ax+

π

6

），
若f（x）图象与y=m（m＞0）相切，则m为f（x）的最大值，即为1+

3

2

；
又切点横坐标成公差为π的等差数列，由2ax+

π

6

=2kπ，即有x=

k

a

π-

π

12

，k∈Z，
即有a=1．
（Ⅱ）在△ABC中，若f（

A

2

）=

3

2

，
则

3

2

+cos（A+

π

6

）=

3

2

，
即有cos（A+

π

6

）=0，
由A为三角形的内角，则A+

π

6

=

π

2

，
即A=

π

3

，
且BC=4，由余弦定理可得4²=b²+c²-2bccosA，
即有16=b²+c²-bc≥2bc-bc，即有bc≤16，
则△ABC面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤4

3

．
当且仅当b=c=4，三角形的面积取得最大值4

3

．

点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算和三角恒等变换、三角函数的性质等基础知识，同时考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，运用基本不等式求最值是解题的关键．