Question

已知函数f（x）=ax²-2

-b2+4b-3

•x，g（x）=x²（2a²-x²）（a∈N⁺，b∈Z），若存在x₀，使f（x₀）为f（x）的最小值，使g（x₀）为g（x）的最大值，则此时数对（a，b）为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：函数f（x）中根据偶次根号下式子的意义可得：-b²+4b-3≥0⇒1≤b≤3，本题中函数的定义域为全体实数R，所以函数的最值可以采用一元二次方程的求根公式直接求得．

解答： 解：由f（x）=ax²-2

-b2+4b-3

•x，知-b²+4b-3≥0⇒1≤b≤3，
又b∈z，得b=1，2，3；
函数f（x）的定义域为R，
故函数f（x）的最小值要在对称轴处取到为：x₀=

-b2+4b-3

a

，
又因为g（x₀）为函数g（x）的最大值，则有 x₀²=a²
所以，函数的最小值x₀=

-b2+4b-3

a

=a，得a⁴=-b²+4b-3 得：a=0 或 a=1
又a不为零，故a=1
所以，此时数对（a，b）为（1，2）．
故答案为：（1，2）．

点评：一元二次函数最值问题一直是初中、高中的重点和难点，解决此类问题需要注意单调性和对一元二次方程
求根公式的应用．