Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，底面△ABC是正三角形，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若平面AMN⊥平面PBC，则平面AMN与平面ABC成二面角（锐角）的余弦值等于（　　）

• A、

  30

  6

• B、

  21

  6

• C、

  6

  6

• D、

  3

  6

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：由已知得PA=PB=PC，且△ABC为正三角形，过顶点P作MN的垂线，垂足为E，延长PE交BC于F，连接AF，过点P作底面ABC的垂线，垂足为O，设PA=PB=PC=a，由已知得∠PEA是二面角PMN-AMN的平面角，AB=BC=AC=

2 3

3

a，CF=

3 a

3

，PF=

6

3

a，OF=

1

3

AF=

a

3

，由此能求出侧面与底面所成的二面角的余弦值．

解答： 解：如图，∵三棱锥P-ABC为正三棱锥，
∴PA=PB=PC，且△ABC为正三角形，
过顶点P作MN的垂线，垂足为E，延长PE交BC于F，连接AF，过点P作底面ABC的垂线，垂足为O，
设PA=PB=PC=a，∵M、N为PB、PC中点，
∴MN∥BC，∵PE⊥MN，∴PF⊥BC，
又PB=PC，∴E、F分别为MN、BC中点，
∵AM=AN，∴AE⊥MN，
∴∠PEA是二面角PMN-AMN的平面角，
∴∠AEP=90°，∵E为PF中点，∴AE为PF中垂线，
∴AF=PA=a，∴AB=BC=AC=

2 3

3

a，
∴CF=

BC

2

=

3 a

3

，
在Rt△PFC中，由勾股定理得到PF=

6

3

a，
由题意得O为底面△ABC的重心，∴OF=

1

3

AF=

a

3

，
∴侧面与底面所成的二面角的余弦值为：
cos∠PFO=

FO

PF

=

a 3

6 3 a

=

6

6

．
故选：C．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、线面角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．