Question

已知斜四棱体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长都是2，∠BAD=∠A₁AD=60°，E、O分别是棱CC₁和棱AD的中点，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD．
（1）求证：OC∥平面AED₁；
（2）求二面角E-AD₁-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结A₁D，交AD₁于F，连结OF，EF，由已知得OF∥AA₁∥CC₁，从而OF

∥

.

CE，进而四边形OCEF为平行四边形，由此能证明OC∥平面AED₁．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED₁的法向量和平面ADD₁的法向量，利用向量法能求出二面角E-AD₁-D的余弦值．

解答： （1）证明：连结A₁D，交AD₁于F，连结OF，EF，
则F为A₁D的中点，也为AD₁的中点，
∵E、O分别为棱CC₁和棱AD的中点，
∴OF∥AA₁∥CC₁，且OF=

1

2

AA₁，
又∵CE=

1

2

CC₁，∴OF

∥

.

CE，
∴四边形OCEF为平行四边形，∴OC∥EF，
∵EF?平面AED₁，OC?平面AED₁，
∴OC∥平面AED₁．
（2）解：∵斜四棱体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长都是2，
∠BAD=∠A₁AD=60°，E、O分别是棱CC₁和棱AD的中点，
平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
E（-2，

3

，

3

2

），A（1，0，0），D₁（-1，0，

3

），

AE

=（-3，

3

，

3

2

），

AD1

=（-2，0，

3

），
设平面AED₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AE =-3x+ 3 y+ 3 2 z=0 n • AD1 =-2x+ 3 z=0

，取z=2

3

，得

n

=（3，2

3

，2

3

），
又平面ADD₁的法向量

m

=（0，1，0），
设二面角E-AD₁-D的平面角为θ，
cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

2 3

9+12+12

=

2 11

11

．
∴二面角E-AD₁-D的余弦值为

2 11

11

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、线面角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．