Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠ABC=90°，且PA=AB=BC=

1

2

AD=1．
（1）PB与CD所成的角的大小为

 

；
（2）PD与平面PAC所成角的余弦值为

 

；
（3）二面角B-PC-D的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与CD所成的角的大小．
（2）求出平面PAC法向量，由此能求出PD与平面PAC所成角的余弦值．
（3）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，由此能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答： 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），P（0，0，1），
C（1，1，0），D（0，2，0），

PB

=（1，0，-1），

CD

=（-1，1，0），
设PB与CD所成的角为α，
则cosα=|cos＜

PB

，

CD

＞|=

| PB • CD |

| PB |•| CD |

=

1

2

，
∴α=60°．
∴PB与CD所成的角的大小为60°．
（2）A（0，0，0），

PD

=（0，2，-1），

AP

=（0，0，1），

AC

=（1，1，0），
设平面PAC法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AP =z=0 n • AC =x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，0），
设PD与平面PAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

PD

，

n

＞|=

| PD • n |

| PD |•| n |

=

2

5 × 2

=

10

5

，
cosθ=

1-( 10 5 )2

=

15

5

．
（3）

PC

=（1，1，-1），

PB

=（1，0，-1），

PD

=（0，2，-1），
设平面PBC的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • PB =a-c=0 m • PC =a+b-c=0

，取a=1，得

m

=（1，0，1），
设平面PCD的法向量

p

=（u，v，t），
则

p • PC =u+v-t=0 p • PD =2v-t=0

，取v=1，得

p

=（1，1，2），
设二面角B-PC-D的平面角为β，
cosβ=

| m • p |

| m |•| p |

=

3

2 × 6

=

3

2

．
∴二面角B-PC-D的余弦值为

3

2

．
故答案为：60°；

15

5

；

3

2

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、线面角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．