Question

7．已知函数f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+m-2），且函数f（x），g（x）的定义域都是[1，2]，a＞0，a≠1，m∈R
（1）当m=4时，若函数F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，求a的值
（2）当0＜a＜1时，f（x）≥2g（x）恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）m=4时，求出F（x）的解析式，根据二次函数在闭区间[1，2]上的最值，讨论a的取值，根据函数的最小值求出a的值；
（2）0＜a＜1时，把f（x）≥2g（x）化为关于x的不等式，分离参数m，利用函数的最值求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+m-2），
且函数f（x），g（x）的定义域都是[1，2]，a＞0，a≠1；
当m=4时，g（x）=log_a（2x+2），
∴F（x）=f（x）+g（x）=log_ax+log_a（2x+2）=log_ax（2x+2），
又∵x∈[1，2]，∴3≤x（x+2）≤8；
又∵F（x）有最小值2，
当a＞1时，a²=3，解得a=$\sqrt{3}$；
当1＞a＞0时，a²=8，解得a=2$\sqrt{2}$（不合题意，舍去）；
综上，a的值为$\sqrt{3}$；
（2）当0＜a＜1时，f（x）≥2g（x）恒成立，
即log_ax≥2log_a（2x+m-2）恒成立；
∴log_a$\sqrt{x}$≥log_a（2x+m-2）在x∈[1，2]时恒成立；
∴$\sqrt{x}$≤2x+m-2，
整理得m≥-2x+$\sqrt{x}$+2，
设t=-2x+$\sqrt{x}$+2=-2${（\sqrt{x}-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{17}{8}$，x∈[1，2]；
∴t（x）在x∈[1，2]上是单调减函数，
在x=1时取得最大值t_max=1，m≥1；
∴实数m的取值范围是m≥1．

点评 本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了分离参数法求函数在某一闭区间上的最值问题，
是综合性题目．