Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M（，-2）．
（1）求f（x）的解析式；　　
（2）用“五点法”画出函数f（x）的简图；
（3）求f（x）的单调增区间；　
（4）求f（x）的对称轴方程、对称点坐标．

Answer 1

解：（1）由题意可知，T=，A=2，ω=，
∵，∴φ=+2kπ，k∈Z，∵
∴φ=
所以函数：f（x）=2sin（2x+）．
（2）f（x）=2sin（2x+）．
列表


（3）因为ysinx的单调增区间为：[-]k∈Z
所以f（x）=2sin（2x+） 可得
-≤2x+≤
解得 x∈[]k∈Z
f（x）的单调增区间：[]k∈Z
（5）函数f（x）=2sin（2x+）．因为2x+=kπ+，k∈Z所以函数的对称轴方程为：x=，k∈Z
因为2x+=kπ，k∈Z所以函数的对称中心坐标为：（），k∈Z．
分析：（1）直接求出函数的周期T，A以及ω，通过函数经过的特殊点求出φ，得到函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，通过列表，描点，连线画出函数的图象．
（3）利用正弦函数的单调增区间，求出f（x）的单调增区间；
（4）根据正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程，利用正弦函数的对称中心求出函数的对称中心坐标即可．
点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，五点法作图，函数的单调性的应用，函数图象的平移伸缩变换，函数的最值，可以说一题概括三角函数的基本知识的灵活应用，考查计算能力．