Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=$\sqrt{3}$．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE；若存在，求出三棱锥P-ACE的体积；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由勾股定理的逆定理得出AC⊥CD，故而CD⊥平面PAC；
（2）取PD中点E，连接NE，CE即可证明四边形MNEC为平行四边形，于是MN∥CE，于是V_P-ACE=V_E-PAC=$\frac{1}{2}{V}_{D-PAC}$．

解答 证明：（1）∵AD=2，AC=$\sqrt{3}$，CD=AB=1，
∴AC²+CD²=AD²，即AC⊥CD．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
（2）线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE．
证明：取PD中点E，连接NE，CE，AE．
∵NE是△PAD的中位线，∴NE$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，又CM$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，
∴NE$\stackrel{∥}{=}$MC，
∴四边形MNEC是平行四边形，
∴MN∥CE，
又CE?平面ACE，MN?平面ACE，
∴MN∥平面ACE．
即E为PD中点时，MN∥平面ACE．
∴V_P-ACE=V_E-PAC=$\frac{1}{2}{V}_{D-PAC}$=$\frac{1}{6}{S}_{△PAC}•CD$=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．