Question

20．设数集A={-1，x₁，x₂，…x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，向量集B={$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$=（x，y），x∈A，y∈A}．若?$\overrightarrow{{a}_{1}}$∈B，?$\overrightarrow{{a}_{2}}$∈B使得$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=0，则称A具有性质P．
（1）若a＞1，数集A={-1，1，a}，求证：数集A具有性质P；
（2）若b＞$\sqrt{2}$，数集A={-1，1，$\sqrt{2}$，b}具有性质P，求b的值；
（3）若数集A={-1，x₁，x₂，…x_n}（其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2）具有性质P，x₁=1，x₂=q（q为常数，q＞1），求数列{x_k}的通项公式x_k（k∈N^*，k≤n）．

Answer 1

分析 （1）运用新定义，结合向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
（2）选取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（b，$\sqrt{2}$），A中与$\overrightarrow{{a}_{1}}$垂直的元素必有形式（-1，m）．所以b=$\sqrt{2}$m，由b＞$\sqrt{2}$，可由m=$\sqrt{2}$，从而b=2；
（3）先猜想结论：x_k=q^k-1，k=1，2，3，…，n．记A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A_k+1具有性质P，则A_k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x_k=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

解答 证明：（1）由A={-1，1，a}，
可得$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（m，n）∈A，设$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（s，t）∈A，
$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=ms+nt，由于A中含有-1，1，
总能使得ms+nt=0，则数集A具有性质P；
解：（2）b＞$\sqrt{2}$，数集A={-1，1，$\sqrt{2}$，b}具有性质P，
选取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（b，$\sqrt{2}$），A中与$\overrightarrow{{a}_{1}}$垂直的元素必有形式（-1，m）．
所以b=$\sqrt{2}$m，由b＞$\sqrt{2}$，可由m=$\sqrt{2}$，从而b=2；   
（3）猜想：x_k=q^k-1，k=1，2，3，…，n
记A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先证明若A_k+1具有性质P，则A_k也具有性质P．
任取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（s，t），s、t∈A_k，当s、t中出现-1时，
显然有$\overrightarrow{{a}_{2}}$满足$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=0，
当s、t中都不是-1时，满足s≥1且t≥1．
因为A_k+1具有性质P，所以有$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，
使得$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=0，从而s₁、t₁其中有一个为-1．
不妨设s₁=-1，
假设t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，则t₁=x_k+1．
由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，与s∈A_k矛盾．
所以t₁∈A_k，从而A_k也具有性质P．
再用数学归纳法，证明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
当n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，则x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
当n=k+1时，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性质P，
则A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，
所以A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x_k+1，q），并设$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（s，t）∈Y，满足$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=0，
由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，则x_k+1=$\frac{q}{s}$＜q，不可能．
所以s=-1，x_k+1=qt=q^j≤q^k且x_k+1＞q^k-1，因此x_k+1=q^k
综上所述，x_k=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

点评 本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了集合元素的性质与向量的综合等知识点，本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想的运用．