Question

19．四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）若$\frac{PA}{AB}$=$\sqrt{3}$，设H为PD的四等分点（靠近点D），求EH与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABCD得PA⊥AE，由菱形及等边三角形性质得出AE⊥AD，故而AE⊥平面PAD，于是平面AEF⊥平面PAD；
（II）设AB=2a，以A为原点建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{EH}$和平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$，则EH与平面AEF所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EH}$＞|．

解答 （Ⅰ）证明：∵底面ABCD底面是菱形，∠ABC=60°
∴△ABC是正三角形，∠BAD=120°，
∵E为BC中点，
∴AE⊥BC，∠BAE=30°，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=120°-30°=90°，即AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又AD?平面PAD，PA?平面PAD，AD∩PA=A，
∴AE⊥平面PAD∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAD．
（Ⅱ）由（1）知，AE⊥平面PAD，
设AB=2a，则$AE=\sqrt{3}a$，$PA=2\sqrt{3}a$．
以$\overrightarrow{AE}、\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{AP}$为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则
P（0，0，$2\sqrt{3}a$），E（$\sqrt{3}a$，0，0），C（$\sqrt{3}a$，a，0），F（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，$\frac{1}{2}a$，$\sqrt{3}a$），H（0，$\frac{3}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$）
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}a$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{1}{2}a$，$\sqrt{3}a$），$\overrightarrow{EH}$=（-$\sqrt{3}a$，$\frac{3}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$）．
设平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ax=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}ax+\frac{1}{2}ay+\sqrt{3}az=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$-2\sqrt{3}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EH}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EH}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{EH}|}$=$\frac{-\frac{5\sqrt{3}}{2}a}{\sqrt{13}\sqrt{6}a}$=-$\frac{5\sqrt{26}}{52}$．
∴EH与平面AEF所成角的正弦值为$\frac{{5\sqrt{26}}}{52}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．