Question

1．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{m+1}$+$\frac{y^2}{3-n}$=1与双曲线C₂：$\frac{x^2}{m}$-$\frac{y^2}{-n}$=1有相同的焦点，则双曲线C₂的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为（　　）

• A． （45°，90°）
• B． （45°，90°]
• C． （0，45°）
• D． （45°，60°）

Answer 1

分析 讨论焦点在x轴上和y轴上，将椭圆、双曲线的方程化为标准方程，由基本量的关系和条件，求得n=1，-1＜m＜0，由双曲线的渐近线方程，可得斜率，进而得到倾斜角的范围．

解答 解：当焦点在x轴上时，由题意知：m＞0，n＜0，
椭圆${C_1}：\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{3-n}=1$中，$a_1^2=m+1，b_1^2=3-n$，
则$c_1^2=a_1^2-b_1^2=m+n-2$；
双曲线${C_2}：\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{-n}=1$中，$a_2^2=m，b_2^2=-n$，
则$c_2^2=a_2^2+b_2^2=m-n$；
由题意，m+n-2=m-n，解得n=1，这与n＜0矛盾；
当焦点在y轴上时，由题意知-1＜m＜0，0＜n＜3，
椭圆${C_1}：\frac{y^2}{3-n}+\frac{x^2}{m+1}=1$中，$a_1^2=3-n，b_1^2=m+1$，
则$c_1^2=a_1^2-b_1^2=-m-n+2$；
双曲线${C_2}：\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{-n}=1$可化为${C_2}：\frac{y^2}{n}-\frac{x^2}{-m}=1$，$a_2^2=n，b_2^2=-m$，
则$c_2^2=a_2^2+b_2^2=n-m$；
由题意，-m-n+2=n-m，解得n=1，
双曲线C₂的一条斜率为正的渐近线的斜率为$k=\frac{a_2}{b_2}=\sqrt{\frac{n}{-m}}=\sqrt{-\frac{1}{m}}$，
又因为-1＜m＜0，所以$-\frac{1}{m}＞1$，所以$\sqrt{-\frac{1}{m}}＞1$，
即双曲线C₂的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为（45°，90°），
故选：A．

点评 本题考查双曲线的渐近线的倾斜角的范围，注意运用分类讨论的思想方法和椭圆、双曲线的基本量的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．