Question

12．已知函数$f（x）=\frac{{{m^2}x}}{{{x^2}-m}}$，且m≠0．
（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）有最值，写出m的取值范围．（只需写出结论）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（0）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）判断m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）m=1时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，
f′（x）=$\frac{{-x}^{2}-1}{{{（x}^{2}-1）}^{2}}$，故f′（0）=-1，
故切线方程是：y-0=-（x-0），
即x+y=0；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{{m}^{2}（{-x}^{2}-m）}{{{（x}^{2}-m）}^{2}}$，
①-m＞0即m＜0时，
令f′（x）＞0，解得：-$\sqrt{-m}$＜x＜$\sqrt{-m}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{-m}$或x＜-$\sqrt{-m}$，
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{-m}$）递减，在（-$\sqrt{-m}$，$\sqrt{-m}$）递增，在（$\sqrt{-m}$，+∞）递减；
②-m＜0，即m＞0时，
f′（x）＜0在R恒成立，
故f（x）在（-∞，$\sqrt{m}$），（$\sqrt{m}$，+∞）递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得m＜0．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查求切线方程，是一道中档题．