理科已知函数,当
时,函数
取得极大值.
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数
在区间
内导数都存在,且
,则存在
,使得
.试用这个结论证明:若
,函数
,则对任意
,都有
;(Ⅲ)已知正数
满足
求证:当
,
时,对任意大于
,且互不相等的实数
,都有
(Ⅰ)m=-1;(Ⅱ)利用导数判断函数的单调性,从而证明不等式;(Ⅲ)利用数学归纳法证明
解析试题分析:(Ⅰ). 由
,得
,此时
.
当时,
,函数
在区间
上单调递增;
当时,
,函数
在区间
上单调递减.
函数
在
处取得极大值,故
. 3分
(Ⅱ)令, 4分
则.函数
在
上可导,
存在
,使得
.又
当时,
,
单调递增,
;
当时,
,
单调递减,
;
故对任意,都有
. 8分
(Ⅲ)用数学归纳法证明.
①当时,
,且
,
,
,
由(Ⅱ)得
,即
,
当
时,结论成立. 9分
②假设当时结论成立,即当
时,
. 当
时,设正数
满足
令
,
则,且
.
13分
当
时,结论也成立.
综上由①②,对任意,
,结论恒成立. 14分
考点:本题考查了导数的运用
点评:近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想(分类与整合、数与形的结合)方法(分析法、综合法、数学归纳法)的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)≤2x-2.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)若,函数
是R上的奇函数,当
时
,(i)求实数
与
的值;(ii)当时,求
的解析式;
(2)若方程的两根中,一根属于区间
,另一根属于区间
,求实数
的取 值范围.
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