Question

19．已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：面ADE⊥面ACD；
（3）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

分析 （1）取AC中点G，连接FG，BG，根据三角形的中位线，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理，即可证明EF∥面ABC．
（2）根据△ABC为等边三角形，G为AC的中点，CD⊥面ABC，得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD．
（3）连接EC，可得四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC，利用体积公式，即可求解三棱锥的体积．

解答 证明：（1）取AC中点G，连接FG，BG，
∵F，G分别是 AD，AB的中点，∴FG∥CD，且$FG=\frac{1}{2}CD=1$，
∵BE∥CD，∴FG与BE平行且相等，FGBE为平行四边形，∴EF∥BG，
又EF?面ABC，BG?面ABC，∴EF∥面ABC．
（2）∵△ABC为等边三角形，∴BG⊥AG，
又∵CD⊥面ABC，BG?面ABC，∴CD⊥BG，
∴BG⊥面ADC的两条相交直线AC，CD，∴BG⊥面ADC，
∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC，∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．
解：（3）连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC．
∴四棱锥A-BCDE的体积：
${V_{A-BCDE}}={V_{E-ABC}}+{V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×1+\frac{1}{3}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}+\frac{{\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查线面平面、面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．