Question

14．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=1，AA₁=2，S是A₁C₁的中点
（1）求证：AC⊥SD；
（2）求三棱锥A₁-BC₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，AC⊥B₁D₁，DD₁⊥AC，从而AC⊥平面BB₁D₁D，由此能证明AC⊥SD．
（2）由S是A₁C₁中点，可得A₁C₁=2SC₁，三棱锥A₁-BC₁D的体积${V_{{A_1}-B{C_1}D}}=2{V_{S-B{C_1}D}}=2{V_{{C_1}-BSD}}=2×\frac{1}{3}•S{\;}_{△BSD}•{C_1}S$．由此能求出结果．

解答 证明：（1）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
底面ABCD是正方形，可得AC⊥BD，
又BD∥B₁D₁，所以AC⊥B₁D₁①
由DD₁⊥平面ABCD，可得DD₁⊥AC②
由①②，且B₁D₁∩DD₁=D₁，
所以AC⊥平面BB₁D₁D，
而SD?平面BB₁D₁D，所以AC⊥SD．
解：（2）由S是A₁C₁中点，可得A₁C₁=2SC₁，
由（1）中AC⊥平面BB₁D₁D，
可知A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，即C₁S⊥平面SBD，
所以三棱锥A₁-BC₁D的体积：
${V_{{A_1}-B{C_1}D}}=2{V_{S-B{C_1}D}}=2{V_{{C_1}-BSD}}=2×\frac{1}{3}•S{\;}_{△BSD}•{C_1}S=2×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．