Question

3．在如图1所示的平面图形中，△ADE是等腰三角形且AE=DE=$\sqrt{5}$，四边形ABCD为矩形，AD=2，CD=$\sqrt{2}$，△BCF为直角三角形．把△ADE与△BCF分别沿AD、BC折成如图2所示的几何体，且平面ADE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，

（1）求证：BD⊥EF；
（2）若CF=1，试求EF与面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点H，连接EH、CH，说明AD⊥EH，证明EH⊥平面ABCD，说明E，H，C，F四点共面．证明DCH=∠CBD，推出BD⊥CH；证明BD⊥面EHCF，推出BD⊥EF．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CF为z轴建立空间直角坐标系．求出平面BDE的法向量，然后利用空间向量的数量积求解EF与面BDE所成角的正弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）取AD中点H，连接EH、CH，
由△ADE是等边三角形知：AD⊥EH，…（1分）
∵平面ADE⊥平面ABCD，AD为面ADE与面ABCD的交线，
∴EH⊥平面ABCD，…（2分）
而CF⊥平面ABCD，故EH∥CF，从而E，H，C，F四点共面．  …（3分）
在Rt△DCH中，$tan∠DCH=\frac{DH}{DC}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
在Rt△DCB中，$tan∠CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴∠DCH=∠CBD，…（4分）
∴∠DCH+∠BDC=∠CBD+∠BDC=90°，则BD⊥CH；…（5分）
∴BD⊥面EHCF，
∴BD⊥EF．…（6分）



解：（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CF为z轴建立空间直角坐标系．
在Rt△EDH中，$EH=\sqrt{E{D^2}-D{H^2}}=\sqrt{{{（\sqrt{5}）}^2}-{1^2}}=2$，…（7分）
则：B（0，2，0），$D（{\sqrt{2}_{\;}}，{0_{\;}}，0）$，$E（\sqrt{2}，1，2）$，F（0，0，1），
则：$\overrightarrow{BD}=（\sqrt{2}，-2，0）$，$\overrightarrow{BE}=（\sqrt{2}，-1，2）$，$\overrightarrow{EF}=（-\sqrt{2}，-1，-1）$，…（8分）
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，由$\overrightarrow n⊥{\overrightarrow{BD}_{\;}}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BE}$得：$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-2y=0}\\{\sqrt{2}x-y+2z=0}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}y}\\{z=-\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$，令y=2，则：$\overrightarrow n=（2\sqrt{2}，2，-1）$，…（10分）
则$cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow n＞=\frac{-4-2+1}{{2×\sqrt{13}}}=-\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$，
∴EF与面BDE所成角的正弦值为$\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$．         …（12分）

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．