Question

18．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ．
（1）求C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）对极坐标方程两边同乘ρ即可得到普通方程；
（2）将直线参数方程代入曲线普通方程解出A，B两点对应的参数关系，利用参数得几何意义得出|AB|．

解答 解：（1）∵ρsin²θ=8cosθ，∴ρ²sin²θ=8ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是：y²=8x．
（2）直线的参数方程标准形式为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，
代入y²=8x得3t²=8（2+t），即3t²-16t-64=0．
设AB对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\frac{16}{3}$，t₁t₂=-$\frac{64}{3}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数方程的几何意义及应用，属于基础题．