Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，并且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}满足：b₁=

1

2

，b_n+1=

n+1

2n

bn(n∈N+)，记数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的前n项和公式S_n；
（2）求数列{b_n}的前n项和公式T_n；
（3）记集合M={n|

2Sn(2-Tn)

n+2

≥λ，n∈N+}，若M的子集个数为16，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得出；
（2）由题意得

bn+1

bn

=

1

2

•

n+1

n

，利用“叠乘法”可得b_n，再利用“错位相减法”即可得出T_n；
（3）由上面可得

2Sn(2-Tn)

n+2

=

n2+n

2n

，令f(n)=

n2+n

2n

，研究数列f(n)=

n2+n

2n

的单调性，可得n≥3时，f（n）单调递减．由于集合M的子集个数为16，可得M中的元素个数为4，不等式

n2+n

2n

≥λ，n∈N⁺解的个数为4，解出即可．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由题意得

a1+d=2 5a1+10d=15

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=n，
∴Sn=

n2+n

2

．
（2）由题意得

bn+1

bn

=

1

2

•

n+1

n

，
叠乘得bn=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

•…•

b2

b1

•b1=(

1

2

)n(

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

)=

n

2n

．
由题意得Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
②-①得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1--

n+2

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

．
（3）由上面可得

2Sn(2-Tn)

n+2

=

n2+n

2n

，令f(n)=

n2+n

2n

，
则f（1）=1，f(2)=

3

2

，f(3)=

3

2

，f(4)=

5

4

，f(5)=

15

16

．
下面研究数列f(n)=

n2+n

2n

的单调性，
∵f(n+1)-f(n)=

(n+1)2+n+1

2n+1

-

n2+n

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，
∴n≥3时，f（n+1）-f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．
∵集合M的子集个数为16，
∴M中的元素个数为4，
∴不等式

n2+n

2n

≥λ，n∈N⁺解的个数为4，
∴

15

16

＜λ≤1．

点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“叠乘法”、“错位相减法”、数列的单调性、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．